摘要
本作品旨在探討於 𝑛 邊形環中，相鄰 𝑘 點不同色的最小塗色數，此為原本圖論中的點著色定義的延伸，由原本的相鄰兩點不同色改為連續 𝑘 個點皆為不同色，記為 𝜒(𝐺)。接著我們在環上加入 𝑙 條邊。當 𝑙 = 0時，我們研究出在不同的 𝑘 及 𝑛 的最小的塗色數，並寫成一項公式；當 𝑙 = 1 時，分析切出的兩子環對彼此造成的影響，並兩端點附近的點開始探討， 最後依 𝑛1, 𝑛2 的奇偶性整理成公式；當 𝑙 = 2 時，我們沿用 𝑙 = 1 時的想法，並探討在 𝑛1, 𝑛2 較小時，彼此間所造成的影響，最後依 𝑘 及 𝑛 的奇偶性分類探討；最後在 𝑙 條對 角線時，分析出精確的上下界，並證明之。
研究目的
一、於環 𝐶n 頂點上塗色，使其任意相鄰 𝑘 點均為不同色，求 𝑙 = 0 時，求最小塗色數 𝜒(𝐶n)
二、於環 𝐶n 頂點上塗色，並將 𝑣1𝑣𝑖 連接成一條邊(3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2)，其分出兩子環 𝐶1, 𝐶2 長度皆大於等於 𝑘，今使任意相鄰 𝑘 點為不同色，求最小塗色數 𝜒(𝐶n,1) = ?
三、於環 𝐶n 頂點上塗色，並由同一頂點連出兩條邊，其分出三子環 𝐶1, 𝐶2 , 𝐶3長度皆大於等於 𝑘，今使任意相鄰 𝑘 點為不同色，求最小塗色數 𝜒(𝐶n,2) = ?
四、於環 𝐶n 頂點上塗色，並將 𝑣1𝑣i 連線，形成 𝑙 條對角線，其分出的每一部分的子環長度皆大於等於 𝑘，且任意相鄰 𝑘 點均為不同色，求最小塗色數 𝜒(𝐶n,l ) = ?
研究結果
一、𝑙 = 0時，最小塗色數
二、𝑙 = 1 時，連一條對角線 𝑣1𝑣𝑖 (3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2)、使其任意相鄰 𝑘 點均為不同色，且
𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 其中 𝑛1, 𝑛2 > 𝑘，則：
(一) 若𝐶n1 或 𝐶n2 為長度小於 2𝑘 的奇環時，則 𝜒(𝐶n,1) = 2𝑘 − 1
(二) 若𝐶n1 及 𝐶n2 皆不為長度小於 2𝑘 的奇環時，則 𝜒(𝐶n,1) = 2𝑘 − 2
三、𝑙=2時，連兩條對角線 𝑣1𝑣𝑖、使其任意相鄰𝑘點均為不同色，且 𝑛= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 −4 其中𝑛1,𝑛2,n3 >𝑘，則：
(一) 𝜒(𝐶n,2)的下界為：
(二) 任意 𝐶n,2 皆可用 種顏色塗完
四、於環 𝐶n 頂點上塗色，並將 𝑣1𝑣𝑖 連線，形成 𝑙 條對角線，使其任意相鄰 𝑘 點均為不同 色，則:
(一) 時，
(二) 若 其中任一項小於 2𝑘 − 2，則：
